例析函数导数问题中的多思少算

曾献峰  福建省莆田市第一中学（351100）

摘要：函数与导数问题是高考能力考查的一个重要素材，具有较强的综合性与灵活性，综合考查学生抽象概括，推理论证能力，考查数形结合思想，函数与方程思想，分类整合思想，化归与转化思想，特殊与一般的思想。学生在解决这类问题存在畏难心理，实际解题过程中又存在诸如：思考问题是否全面，条件转化是否等价，方法调用是否恰当，路径选择是否简洁，细节处理是否顺利，意志品质是否坚强，解题迷失时能否及时自我分析调控等等状况。基于学生的解题困难与高考命题多思少算的理念，本文尝试提供四个解题策略（数形结合，特殊值法，局部处理，构造函数法）来突破与化解难点，避繁就简。

关键词：函数导数，数形结合，分类整合，充分必要条件

正文：

函数与导数问题是高考能力考查的重要素材，高中数学引进导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法。解决此类问题的一般方法是：构造函数，利用导数求出函数的单调区间，画出函数草图，数形结合解题。高考中，这方面知识的考查往往不是简单的公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查数形结合，函数与方程的思想，有限与无限的思想等等，具有一定的灵活性与综合性。

学生在解答此类问题的过程中存在的状况有：思考问题是否全面，条件转化是否等价，方法调用是否恰当，路径选择是否简洁，细节处理是否顺利，意志品质是否坚强，解题迷失时能否及时进行自我分析调控等。

多思少算，注重从多个角度进行思考，寻找好的突破点，做到轻松上阵，避繁就简，事半功倍。我们从如下四个解题策略来突破与化解难点。

一、 数形结合，四两拨千斤

例1、（13福建理）设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（     ）

A．          B．是的极小值点

C．是的极小值点       D．是的极小值点

解析：此题若借助数形结合的思想来构造函数图像，利用函数图像的变换易得选项D，做到小题小做。

例2、（13湖北理）已知为常数,函数有两个极值点，则（  ）

A．   B．  

C．   D．

解析：该题作为选择题压轴题，有较大难度。依题意，，令得，则函数与有两个交点，如图所示，横坐标分别设为。过点且与相切的直线方程为：，数形结合可得：且。由图可得：；；，所以在上是增函数可得：，由的取值范围得答案D。若作为一道解答题，则需要分类讨论，过程复杂，而用数形结合大大减少了计算量，而且指明了解题思路的正确方向。

例3、（2013年5月厦门质检理）函数在点处的切线为，若在点A处穿过函数的图像（即动点在A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧）求的值  

解析：由知在点处的切线方程是：，令

则 切线在点A处穿过函数的图像

由数形结合可得此时两边附近的函数值异号， 的极值点

若，则都是的极值点，

从以上例子我们可以看到恰当地使用数形结合的思想，可以使得解题思路变得更加灵活，解题过程更加简洁。

二、 特殊值法，仙人指路

例4、（2013年高考新课标1（理））,，若≥-2时,≤,求的取值范围

解析：设函数==(), 

==, 

由题设可得≥0,即,又 即，

令=0得,=,=-2, 

(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, 

∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, 

(2)若,则=, 

∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0, 

∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,

综上所述,的取值范围为[1,].

评析：利用的函数值可以较快的估计出参数的取值范围，避免过多的分类讨论。

例5、（2013年高考新课标II（理））已知函数),当时,证明

评析：此题属于恒成立问题，可转化为，但若以为主元，注意到当，有,那么只需证明当时，即可，这样处理之后避免了对参数的分类讨论，计算量大大减小。此题也可借助数形结合来寻找证明的思路。该题若按以往的命题思路：若，求参数的取值范围，则难度更胜。

三、 局部处理，星火燎原

例6、设函数，若对所有都有成立，则实数的取值范围

评析：若选用分离参数法来处理，可构造函数，易证在上为增函数，最小值在处取到，但没有意义，无法处理；所以我们可选择直接构造函数，注意到要使得恒成立，那么在的局部范围内应该有，那么原命题成立的一个必要条件是，即，这样由局部处理得到必要条件之后再去寻求充要条件。

解析：若，则，

在上单调递增，则成立；

若，则，，递减，有

不合题意，综上有

同样的方法可以处理下列的题

（1）（13文科质检题）函数在点处的切线为，且与轴相交于点，若点的纵坐标恒小于1，求实数取值范围

（2）（2010宁夏）若恒成立，求实数取值范围

例7、（12厦门质检理）已知函数若的最大值为0，求的取值

解析：定义域为，依题意，是极大值点，

 ，此时有

，在递增；

，在递减，在处取最大值0

这里我们先通过考虑必要条件得出k的值，再验证其充分性，这比标答给出的解答简单很多。

四、构造法，开天辟地

例8、（），若总有

成立，求的取值范围

评析：易得时，在上是减函数，不妨设，则可去掉绝对值得：即。构造函数，则转化为证明在上是减函数即可

现在高考强调知识交叉、渗透和综合，试题坚持能力立意，多角度、多层次地考查各种能力，需运用合情推理，寻找规律，进而运用所学知识予以验证，有效地考查了考生运用知识分析、解决实际问题的能力，更需要我们注重培养学生多思少算，从多角度分析试题，综合选择比较恰当的方法节约时间，从题海里跳出来。

参考文献：

[1]福建中学数学编辑部.2014福建省高考总复习一轮用书学海舵手，山东科技出版社，2013

[2]福建中学数学编辑部.2014福建省高考总复习二轮用书学海舵手，山东科技出版社，2013

[3]吴剑.高考常考题型分类总结（导数三）.人教论坛数学空间，2011(3).6

[4]2013年高考数学解答题解法荟萃.中学数学教学参考.2013(7)

刊物名称：福建中学数学 刊号：CN35-108401  时间：2015.6第六期