一对姊妹不等式的另证及推广

      吴晓明  

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文［1］夏开平老师用几何平均不等式给出以下两个不等式

   命题A   若,且，则

(1)      ，

(2)      .

    不过用几何平均不等式来证明命题A比较烦琐，也不易推广. 文［2］有明辉老师用另外一种方法证明了这两个不等式，并把它推广到个变量的情景，即

    命题B  若，且，则

（3）    ，

（4）    .

笔者认为文［2］的证明方法也不够简洁，并存在局限性。应用不等式可以比较简单地证明命题A，与不等式相结合，还能够把推广中的开根号推广到任意次幂. 即

定理  若，且，当时，

（5）    ,

（6）    .

该定理的证明要用到两个重要的引理：

引理1（不等式）  设和是实数列或是复数列，则当

时，有

                        .

这里. 当时, 不等号反向.

引理2（不等式）  设是实数列或是复数列，则当时，有

   .

当时, 不等号反向.当时, 不等式也称为广义的三角不等式；当时, 即为文[4]里的问题1777.

定理的证明:  当先证不等式（5），应用不等式得

      因为，所以. 令，记，求导得

. 显然对任意，都有. 因此是单调递减的，故（1.1）得

          ,

也即

           .

    现证不等式（6）. 当时，因为

同理可得，当时

，

所以，对（2）式左边应用不等式和基本不等式得

令，考虑函数. 容易证明在中是单调递减的，故（1.2）得

                   ,

也即

         ,

研究完的情景，接下来我们再来证明当的情景。

先证不等式（5）. 设为的共轭指数：.应用不等式得

化简得

因为，所以，故（1.3）式得

             .

（6）式的证明过程与（5）式的证明类似，这里从略。又因为

         .

定理证毕.

    当时，即为命题B，因此本定理为命题B的推广。

    今年是2012年，若对定理进行适当的修改，我们得出以下三个有趣的命题

命题1  若,且，则

    命题2  若,且，则

    命题3  若,且，则

参考文献

1 夏开平. 一对优雅的姊妹不等式. 数学通讯,2008,19,27

2 有名辉. 一个不等式命题的另证及推广. 数学通讯,2009,9,24-25

3 G.Hardy,J.E.Littlewood. Inequalities. United Kingdom: Cambridge University      

  Press[M],1988

4 段刚山. 问题1777. 数学通报,2009,2

                                             发表于福建中学数学2014年第6期