读《数学深度教学的理论与实践》有感

          PG电子·(中国)官方网站     蒲锦泉

一、“深度学习”与“数学深度教学”。

这两者之间显然存在重要的联系，特别是，应将帮助学生学会“深度学习”看成“深度教学”的一个重要目标．研究将集中于“深度教学”的实践性分析，因为，如果教师未能做好“深度教学”，学生自然也不可能真正做到“深度学习”

1 从“深度学习”到“深度教学”

1.1 “深度学习”的基本涵义

从数学教育的角度看，“深度（层）学习”不能说是一个全新的概念，因为，这是人们关于数学学习的一项共识，即是应当切实避免学习的肤浅化、浅层化．也正因此，就可通过相关现象的分析对作为其直接对立面的“深度学习”做出初步界定．以下就是“（数学）浅度学习”的一些具体表现．

（1）机械学习，即主要依靠死记硬背与简单模仿学习数学；这并可被看成这样一种教学方式的直接后果：相关教师在教学中完全不讲道理，也不要求学生进行理解．尽管以下做法不能简单地被归结为“机械教学”，但仍然会对这一倾向起到推波助澜的作用：教师在教学中往往自觉或不自觉地强调这样一点：不管你是怎样想的，也不管你是如何做的，只要做得对、做得快，就是好的，就能得到表扬！

（2）“机械学习”在计算法则的学习中较为常见，但几何学习也不能幸免，即如相关认识始终停留于所谓的“直观几何”，也即概念和图形的直观感知，却没有认识到必须超越直观更深入地去研究各个图形的特征性质与相互联系．这事一个层次的主要原因．

（3）这也是“浅度学习”的一个重要表现，即是满足于数学知识与技能（经验）的简单积累，却没有认识到还应将它们联系起来加以考察，从而建立整体性的认识．应当强调的是，这种“知识碎片化”的现象并就是与数学的本质特点直接相违背的，由此可见，如果学生关于“搭配问题”“握手问题”“植树问题”的学习始终停留于相关的现实情境，就都是一种“浅度学习”，因为，数学学习必须“去情境”，也即由特殊上升到一般．

总之，这是数学学习必须纠正的一个倾向，即是不讲理解，或是完全停留于日常经验与直观感知．上述的分析显然也已表明：“浅度学习”在不同的社会文化背景和不同的时代可能具有不同的表现形式．联系新一轮课程改革做出进一步的分析，从而更清楚地说明强调“深度学习（教学）”的重要性．另外，对于以下现象无疑也应给予高度的重视：随着校外补习的盛行，相关情况似乎有所恶化，因为，这正是后者的普遍特点，即是只讲结论与算法却不讲道理，也正因此，很多接受了此类补习的学生看上去已经懂了，也能正确解答相应的“常规性问题”，但却很难被看成已经达到了真正的理解，同时，也应看到双减的必要性。综上可见，这是“深度学习”的基本涵义，即是数学学习一定要讲理解，并很好实现对于日常经验与直观感知的必要超越．对此并可称为“深度教学”的1.0 版． 

1.2 “深度学习”的现代诠释

除去立足数学教育进行分析以外，现今对于“深度学习”的提倡还有更加广泛和深刻的原因，这并导致了“深度学习”更重要的一些涵义，这就是“深度学习”的2.0 版．在此主要提及这样几个方面．

正如人们普遍认识到了的，人工智能的研究是促进“深度学习”十分重要的一个因素：“随着人工智能的快速发展，深度学习成为近几年的热点之一．人类思维的主要特点就是“快思”占据主导地位，从而就可被看成“日常思维”的基本形式；但是，尽管这种思维形式对于人类生活与工作具有十分重要的作用，但又常常会导致若干系统性的错误，从而造成严重的消极后果．也正因此，这就是人类面临的一个重要任务，即是努力改进自己的思维，特别是学会“长时间的思考（慢思）”．依据上述分析可更好地理解教育的现代发展，也即为什么要将努力提升学生的核心素养看成教育的主要目标．那么，究竟什么又是上述发展对于更好理解“深度学习”的主要启示呢？ 

第一，作为“思维的科学”，数学与其它学科相比显然更加有益于学生思维的发展，应明确提出这样一个任务：数学学习不应停留于各种具体的数学知识和技能，而应更加注重“通过数学学会思维”，后者并集中反映了“努力提升学生核心素养”这一思想对我们的启示，即是应当由帮助学生“学会数学地思维”转向“学会思维”，包括努力提升自身的思维品质．第二，依据数学本身的特点并可对此做出进一步的解读：“通过数学学会思维”主要是指逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能努力提升思维的整体（综合）性与灵活性、自觉性与创造性等．由于认识的模糊性、浅薄性、片面性与随意性（任性）等正是现代社会的普遍性弊病，也就更加清楚地表明了“深度学习”的现实意义．还应提及的是，这事实上也是不少人士的亲身感受，即是数学特别有益于人们思维品质的提升． 

二 “数学深度教学”的4 个重要环节

以下再指明“深度教学”特别重要的4 个环节，包括如何才能帮助学生学会学习．

2.1 联系的观点

注重“联系的观点”事实上也是国际数学教育界的一个普遍趋势，更与“理解教学”具有直接的联系：按照建构主义，“理解”就是指新学习的知识与主体已有的知识与经验建立起了直接的联系（包括“同化”与“顺应”）；而“联系”的数目与强度则更直接决定了“理解”的程度：“如果潜在的相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限.

就“深度教学”而言，“联系的观点”还有这样一个特殊意义：只有从更广泛的角度，也即用联系的观点进行分析思考，才能达到更大的认识深度；反之，也只有达到了更大的认识深度，才能更好发现不同对象之间的联系．另外，由于“联系的观点”显然也应被看成一种普遍性的思维策略，对此自然就应予以特别的重视，即不只是用“联系的观点”指导各个具体内容的教学，从而帮助学生更好地掌握这些内容，而且也应通过这一途径帮助学生逐步掌握这种思想策略，也即能够应用这一方法去分析问题和解决问题．就“联系的观点”在数学教学中的应用而言，并可大致地区分出3 个不同的层次．

（1）比较的应用．这既是指找出对象的共同点，也可集中于对象的不同之处，或是同时关注它们的“同与不同”．这些对于数学的认识都有十分重要的作用．例如，找出不同对象的共同点（这也就是所谓的“举三反一”）显然就是数学抽象、乃至一般抽象的直接基础；另外，如果说抽象主要涉及到了特殊与一般之间的关系，那么，“借助于特例进行思考”就是类比联系的主要特征，也即如何能够借助一个特例去从事另一特例的研究．在一些学者看来，这也正是“实践性智慧”的主要特征．最后，“对照比较”显然也可被看成一个普遍性的思维策略，包括与“变化的思想”的综合应用．例如，常常可以通过与“基本题型”的比较与适当变化解决各种较复杂的问题，而这事实上也正是应用题教学的思维价值所在．

（2）“全局的观念”的指导．教学中应跳出各个细节并从整体上进行分析思考，包括用整体性认识指导各个具体内容的教学．更加重视通过新的学习发展学生的认识，包括对“基本问题”和“基本数学思想”的必要强化和再认识．具体地说，尽管“度”和“量”即可被看成“度量问题”的共同__核心，但这在不同情况下又应说有不同的涵义或重点．因此，在教学中就不仅应当帮助学生很好认识新的内容与已学过内容之间的共同点，也应注意分析它又有哪些新的特点， 

（3）努力帮助学生建立“结构性认识”，也即能够按照逻辑的顺序（由简单到复杂、由低维到高维）把握各个相关内容，从而更好地认识它们的内在联系，包括什么是真正的重点或关键等．最后，从促进学生的思维发展这一立场进行分析，又应明确提出这样一个任务，即是应当通过“结构性教学”帮助学生学会“结构性思维”．

2.2 问题引领

强调“深度教学”显然突现了教师在教学活动中的主导作用，也正因此，就应特别重视如何进行教学才能同时保证学生在学习中的主体地位，这并就是突出强调“问题引领”的主要原因，另外，后者事实上也可被看成中国数学教学的一个重要特色．就“深度教学”具体实践而言，还应特别强调这样几点．

（1）不仅应当做好“知识的问题化”与“问题的知识化”，也应高度重视如何能够通过适当的问题引导学生更深入地进行思考，也即由知识和技能深入到思维的层面．

（2）“问题引领”不仅应当体现于课堂教学的开始部分，也应体现于其它各个环节，尽管不同环节应有不同的重点．在开始部分，应当特别重视“核心问题”的提炼与“再加工”，从而就不仅能够真正聚焦于课程内容的重点与难点，

也能很好调动学生学习积极性，相关实例可见文．其次，由于认识往往有一个逐步明朗与不断深化的过程，包括关注点的必要调整与纠错，因此，在课程的中间环节，教师就应根据预设和当时的实际情况做出持续的引导，包括“核

心问题”的明朗化与“再聚焦”，通过追问、反问与提出新的问题促进学生的深入思考，乃至从“元认知”的高度做出分析和思考等．最后，在课程的结束部分，则应引导学生对已有工作做出认真的总结与反思，并通过适当的问题引导学生在课后继续进行思考，从而很好体现教学的“开放性”． 

2.3 充分的交流和互动

为什么又应特别重视学生的交流与互动？或者说，什么是“深度教学”在这一方面给出的重要启示和更高要求？答案应当说十分明显：这主要地不是指“会说”“会听”等一般性要求，而是因为这十分有益于学生学会反思，学会优化，学会合作．以下就是这方面的一些具体建议．

（1）教学中应尽可能给学生更多的表述机会，因为，为了清楚地说出自己的想法，必然要求主体积极进行思考，包括对于自己头脑中已有想法的梳理与检查．由于上述目标的实现在很大程度上取决于学生是否有时间做出准备，特别是深入思考，因此，教学中应十分重视为学生的积极思考提供足够的空间与时间，包括努力培养学生长时间思考的习惯与能力．特别是，教学中要求学生解决的问题不应太多太小，而应努力做到“少而精”，并有足够的思维含金量，因为，不然的话，学生就会忙于应付，而不可能真正静下心来做长时间的思考，甚至根本找不到深入思考的切入点．教学中还应十分重视如何能为学生的静心思考提供合适的环境与氛围，包括努力帮助他们进入这样一种状态，即是完全沉浸于相应的学习活动．（2）其他人的看法或做法显然也为主体的深入思考、特别是比较和优化提供了重要背景，因为，只有更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，才可能对他人的意见做出适当评论与批评，包括对自身原来的认识做出改进或优化．更进一步说，这并就清楚地表明了这样一点：“深度学

习”不仅依靠师生间的积极互动，同样离不开学生间的积极交流与互动．也正因此，在教学中就应积极提倡观点与方法等的多元化，特别是对于不同观点与方法等的容忍、理解与欣赏，即是应当保持一定的开放性，而不应过分强调教学规范性．进而，教学中又应更加重视引导学生对不同的观点和方法（包括自己原先的观点和方法）等做出比较，并能通过充分地交流与反思很好实现认识的不断优化．显然，从上述角度也可更好地理解：应将“善于比较与优化”看成数学教师又一重要的基本功．

2.4 努力帮助学生学会学习

“帮助学生学会学习”，首先就是指这样一个意识的树立，即是应由教师指导下的学习、不知不觉的成长，转变成学生的自觉行为，包括清楚地认识数学学习，特别是“深度学习”的主要目标，并以此来指导自己的行动．就这方面的具体工作而言，还应注意超出数学从更一般的角度进行分析． 

（1）注意帮助学生学会总结、反思与“再认识”．

如前所述，这也直接关系到了数学本身的特点：数学的发展主要不是指横向的扩展，即如引进了更多概念，积累起了更多知识与技能等，而是指借助更高层次的抽象实现了纵向的发展；也正因此，数学学习就主要是一个不断优化的过程，又由于后者不可能单纯依靠外部压力与简单示范得到实现，而必须成为学生的自觉行为，这显然也就更清楚地表明了帮助学生学会总结与反思的重要性．例如，“问题解决”现代研究中对于“元认知”的强调就可被看成属于这样一个范围，即在从事解题活动时，应当促使学生经常问自己这样3 个问题：正在干什么？为什么要这样做？这样做了究竟又有怎样的效果？而这事实上就是一种“即时反思”，更十分有益于学生依据实际情况及时做出必要调整，并使解题活动真正成为一种自觉的行．另外，教学中还应十分重视引导学生从整体的视角对已有知识做出“再认识”，从而建立起“结构性认识”，并能真正做到“化多为少”“化复杂为简单”．应当强调的是，在很多学者看来，这也正是数学认识发展最重要的一个特点：“由简单到复杂，化复杂为简单”；进而，正如华罗庚先生所说，这也可被看成最基本的治学之道，尽管他使用的是“由薄到厚”和“由厚到薄”这样一个表达方式：“由薄到厚是学习、接受的过程，由厚到薄是消化、提炼的过程”；“经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，我们的基础就算是真正打好了”．

（2）努力提高学生提出问题的能力．

如果说适当的提问正是教师发挥指导作用，特别是引导学生深入思考最重要的一个环节，那么，由此显然也可引出__这样一个结论：努力提升他们提出问题的能力正是帮助学生学会学习的又一关键：借此他们即可通过自我引领不断实现自我完善和新的发展．以下即是几个具体的建议．

第一，无论在课程的哪个环节，教师都不仅应当通过适当提问进行引领，也应让学生发挥更大的作用，即是应当鼓励学生积极提问，包括通过对学生所提问题的评价、筛选与优化等为学生提供必要指导，并能通过自己的工作做出直接的示范．教学中并应注意保护学生的提问积极性，而不要因为不恰当的“理答”挫伤了他们在这一方面的积极性，即应让学生真正做到“敢问”．正因为此，这就应被看成“数学课堂文化”建设的又一重要方面．第二，除去直接的示范，也应从一般角度总结出这方面的一些普遍性策略或方法．应清楚地看到在“提出问题的能力”与“数学思维和一般思维能力”之间的重要联系：“提出问题”事实上也可被看成数学思维与一般性思维策略的具体体现和直接应用，反之，提出问题的学习也十分有益于人们思维品质的提升．

第三，应当努力提升学生在这一方面的自觉性，特别是，不仅“敢问”，也能真正做到“爱问”“善问”．例如，这方面十分重要的一个认识就在于：为什么要对

“发现问题”与“提出问题”做出一定区分，并对“问题的表述”予以足够的重视？这事实上也关系到了由素朴状态向自觉状态的重要转变：如果说“发现问题”主要是指主体对于问题有一定的敏感性，也即具有一定的“问题意识”，那么，由“发现问题”转向“提出问题”，就意味着主体对问题的认识已由先前的“模模糊糊、似有似无”转变成了清醒的认识，变得更清晰、更准确，这并就是认真思考和分析（“再思考”），包括自我评价与改进的结果，如这是否可以被看成一个真正的问题，又是否具有深入研究的价值等,显然还应特别强调提出问题对于提升创造能力的特殊重要性，包括这样一点：只有会提问题，特别是能够引发深

入思考的问题，才能真正学会学习，学会“深度学习”．第四，还应十分重视学生的发展水平与接受能力，包括针对“学生的学习心理”去进行工作．这也正是最后，还应强调的是，先前关于“深度教学”主要环节的分析显然也为这方面工作提供了直接启示，特别是，除去已提及的“总结反思”和“适当提问”以外，还应通过强调“联系的观点”和“积极的交流与互动”帮助学生更好地学会学习，包括

真正学会与他人合作．

     如果说人们在先前比较注重教学的“实”“活”“新”，那么，在当前就应更加强调一个“深”字，也即应当通过“深度教学”很好落实努力提升学生核心素养这样一个目标．数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”．