在高中课堂教学中渗透数形结合与数学模型思想

 ---《数形结合与数学模型》读书体会

PG电子·(中国)官方网站     游发本

作为一名高中数学教师，深知加强自身专业知识素养对自身教学能力提高的重要性，故在即将进入高三的这个暑假，认真拜读了史宁中教授的《数形结合与数学模型》一书。

数和形是数学中最基本的两个概念，它们之间存在着某种对应关系，二者在一定数学条件下可以达到相互转化，因此在高中数学教学中，若能逐步渗透数形结合的教学思想，有利于学生数学思想的培养，有利于让学生在具体学习过程中更好的找到思路，增强学生优化解题方法、训练逻辑思维的能力。

一、数形结合思想的应用原则

数、形作为高中数学非常重要的两个元素，分别指的是数量关系与空间图形，而数形结合求解便是通过将图像转数学语言，通过图像及抽象思维的有机结合，借助形象的图像来解决抽象的问题，从而简化问题，促进学生解题能力的提高。而在应用数形结合思想时，应当严格遵循以下原则：

①双向性。在直观分析几何图形时，需仔细分析其代数的抽象性。其中，代数语言具有非常强的精确性及逻辑性，可有效避几何直观方法中的约束性，进而将数形结合的优势充分发挥出来。

②等价性。在转化过程中，数的代数性质以及形的几何性质应当等价。

③渗透性。高中数学教师在实际教学过程中，应当将知识作为载体，在恰当的时机渗透数形结合思想。

④参与性。教师应当严格遵循学生参与的原则，为学生创设良好的学习氛围及合适的学习时机与素材等，并指导他们参与到知识的发生、发展等过程中来。而在渗透过程中，应当注意加大挖掘数形结合思想的力度，考虑到此种思想存在一定的内隐性，充分把握渗透方法。

二、在高中数学教学中渗透数形结合思想的价值

促进学生形成系统概念。在数学学习中，由于概念十分抽象，且绝大多数内容都是在文字基础上得出的结论，导致学生学习起来很枯燥，不能激起学习兴趣。在实际教学中，教师可通过渗透数形结合的思想，引导学生对数学知识逐渐从感性上升到理性，全面、系统性的理解数学概念。通过数形结合的方法将概念数与形的特征表现出来，保证学生可以从本质上把握数学概念。

帮助学生掌握所学知识。传统数学教学侧重对基础理论知识的教授，学生掌握与运用起来十分吃力。其实在数学教学中，教师可借助于数形结合具有的形象记忆特点，通过几何语言进行对抽象数学知识的表达，在学生大脑中构建数学模型，使其更深入的掌握数学信息，形成对数学知识的完全理解。例如在学习函数时，教师可以通过函数图形来强化学生对函数知识点的记忆，包括函数定义域、值域、周期性等等，都可以通过函数图像将其形象、直观的反应出来。

引导学生发展思维能力。在高中数学的实际教学中，主要是在基于形象思维的基础上进行的，这也就决定了高中数学不能忽视形象思维的培养，并注重与抽象思维的平衡性。只有协调好两者，才能对客观事物反应出来。在数形结合思维中，对问题的剖析始终围绕“数”与“形”来展开，例如将代数问题转化为几何问题，使学生掌握问题解决的工具，促使学生获得对数学知识的实质性认知，可促进学生数学思维能力的养成与发展。

通过将数形结合的思想渗透进高中数学教学过程中，可防止教学内容枯燥、问题抽象难懂等情况的出现，不但可帮助学生探寻出适合自己的学习方式，而且还能使其对数学中的美产生更为深刻的理解，进而产生学习数学的兴趣。通过应用数形结合的思想，可有效降低解决问题的难度，消除学生对高中数学的恐惧心理，激发其学习的热情，促进学生形成多向思维，最终促进其理解与记忆数学知识能力的提升。除数学外，在其他科目中应用数形结合的思想也是有诸多益处的。

三、 高中数学教学渗透数形结合思想的几个方面

夯实概念教学。数形结合思想最大的优势就是能将数学知识变得简单化，不仅能便于学生进行学习，提升他们的数学成绩，同时还能对学生学习能力以及学习思维进行有效的培养，优化他们的解题能力，因此，老师应对数学教材进行充分的研究，将这一理念融入到数学的概念之中，再教授给学生，这样才能达到事半功倍的效果。 例如，《高中数学课程标准》强调要理解和掌握基本的概念和思想，如函数、空间观念、运算、向量、导数、统计、随机观念、算法等，基本上贯穿了整个高中教学始终，由于数学具有高度抽象性，所以在教学时，我们要注重体现概念的来龙去脉，既要讲教材中出现了的，也要提及教材上没出现的，要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程，这样才能让学生对这些基本概念有个清晰全面地掌握，才能做到活学活用。

解决数学问题。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可分为两种情形：或者是借助“形”的生动和直观性来阐明“数”之间的联系，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。通过数与形的相互转化来解决数学问题，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 比如，学习“单位圆与三角函数线”这一节，可利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结合思想：由于前面学习了三角函数的定义，该定义从代数角度揭示了三角函数值是一个“比值”。我先让学生从代数形式分析三角函数在各象限的符号，让他们求出一些特殊轴线角的三角函数值，并分析正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。而在完成本节教学后，我又让学生从几何角度重新分析以上问题。因为三角函数线是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值，用方向表示三角函数值的正负号，所以三角函数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出，对于前面所求特殊轴线角的三角函数值及正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，我自制了几何画板课件，让学生直接从形的角度得到了答案。

优化高考复习。纵观多年高考试题，数形结合思想得到了深度融合，对数形结合的考查主要涉及以下几方面：（1）集合问题中韦恩图的运用；（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；（3）函数图象的应用；（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；（5）解析几何、立体几何中的数形结合。高考中利用数形结合思想在解决选择题、填空题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中进一步得到了加强，其发展趋势不容忽视。因此，在日常教学，特别是系统复习时，我们要注意培养学生这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓他们的思维视野。 比如，在近几年高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势：（1）考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、函数的图象。（2）函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题。（3）考查运用函数的思想来观察、分析、解决问题。因此，在复习相应模块时，我们务必要切实渗透数形结合思想，从而增强学生的思维意识与解题技巧，促进复习的针对性与有效性。

总之，数形结合的思想对于高中数学教学而言，具有十分重要的作用与功能，为促进学生数学成绩及解题能力的提高，实现教学目标，高中数学教师就应当对数学知识及学生的学习水平展开全面分析，在教学过程中加强数形结合思想的渗透，帮助学生更加地理解数学知识点，同时引导高中生养成良好地数学思维和正确的解题思路，切实帮助他们提高自身的数学学习能力，从而实现学生解题思维及数学思维的提高。